Loading... 容斥原理是一种组合数学中的基本方法，用于计算多个集合的并集或交集的元素个数。它的基本思想是通过加减各个集合的元素个数以及它们的交集的元素个数来得到最终结果。 容斥原理的公式如下： 对于有限集合 $A_1, A_2, \ldots, A_n$，它们的并集的元素个数 $|A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n|$ 可以表示为： $$ |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \cdots + (-1)^{n+1} |A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| $$ 用更一般的形式表达： $$ |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} |A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}| $$ 这个公式通过逐步加减各个集合的交集来避免重复计算，从而准确计算出并集的大小。 ### 容斥原理的应用示例 假设有三个集合 $A, B, C$，它们的元素个数分别为 $|A|, |B|, |C|$，它们两两交集的元素个数分别为 $|A \cap B|, |A \cap C|, |B \cap C|$，以及三个集合的交集的元素个数为 $|A \cap B \cap C|$。那么 $A, B, C$ 三个集合的并集的元素个数可以表示为： $$ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$ 通过这个公式，我们能够计算出三个集合合并后的总元素个数。容斥原理在概率论、统计学、离散数学等领域有广泛的应用。 最后修改：2024 年 07 月 17 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏